Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Acima, esta esquematizada uma ponte de Wheatstone.

Na figura acima, V é a fonte de energia, e ∆V a tensão que é zero quando a ponto de Wheatstone está em equilíbrio.

Assim, para que ∆V seja zero não pode passar corrente por ∆V, pois a corrente elétrica só se desloca para pontos de menor potencial. Se ∆V é zero, então não há diferença de potencial entre seus extremos, logo a corrente será a mesma em R1 e em R4, o mesmo ocorrendo para R2 e R3. Logo, a tensão V fornecida é:

V = I23*(R2 + R3) = I14*(R1 + R4). Considerando-se que as corrente I23 e I14 deslocam-se de baixo para cima na figura.

A tensão medida em ∆V é:

∆V = R1*I14 + R2*(-I23). Perceba, o uso do sinal '-' deve-se pelo fato de que a corrente é de baixo para cima, e para que o caminho seja mantido iniciando de R1 e passando por R2 para calcular a ddp em ∆V, I23 é negativo já que I14 é positivo.

O mesmo ocorre se fizermos a malha de baixo:

∆V = R4*(-I14) + R3*I23               (1)

Porém, queremos que ∆V = 0, logo:

R1*I14 - R2*I23 = 0    (ou -R4*I14 + R3*I23 = 0, o resultado daria o mesmo.)

De onde tiramos que:

I14 = R2*I23 / R1

Substituindo isso EM (1):

R3*I23 - R4*(R2*I23 / R1) = 0

R3*I23 = R4*(R2*I23 / R1)

Cortando I23

R3 = (R4*R2) / R1

R3*R1 = R4*R2

Logo, para que ∆V = 0, o produto cruzado das resistências deve ser igual.

Exercícios Resolvidos - Geometria analítica

Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:

a)

Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.

Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:

y = ax + b

a + b = 1


Como passa por B(4,0), temos:

y = ax + b

0 = 4a + b

Mas

a + b = 1

0 = 3a + (a+b)

0 = 3a + 1

a = -1/3

b = 4/3

Coeficiente angula da reta AB: -1/3

Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:

y = 3x + b

Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)

4 = 3*3 + b

b = 4 - 9 = -5

Logo, a reta é:

y = 3x - 5

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:

Reta AB:

y = (-1/3)x + 4/3

Reta altura:

y = 3x - 5

Igualando ambas:

3x - 5 = (-1/3)x + 4/3

(10/3)x = 19/3

x = (19/10) = 1,9

y = 3*(19/10) - 5

y = 5,7 - 5 = 0,7


Ponto P = (1,9 , 0,7)

b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

h² = (3, 1.9)² + (4 - 0,7)²

h² = 1,1² + 3,3²

h² = 1,21 + 10,89 = 12,1

h = 3,479

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.

d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²

d² = 3² + 1² = 10

d = 3,1623

A área será:



A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:



Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.

Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Numa brincadeira de amigo secreto, qual a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome quando o número de participantes tende ao infinito? 

Solução:

Este exercício parece ser simples mas é muito complicado.

Vou tentar explicar a forma como fiz o mais detalhado possível, porém o leitor deve estar bem atento a cada passo.

Inicialmente, vamos deduzir o universo de possibilidades.

Não é difícil perceber que o universo é de n! para n participantes, pois, o primeiro a sortear tem 'n' nomes para retirar. O segundo terá '(n-1)'. O terceiro, '(n-2)'... Logo, o número de possibilidades é:

n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!

Dessas possibilidades, vamos procurar quais são favoráveis, e da divisão das possibilidades favoráveis pelo número total temos a probabilidade.

Vou chamar de Prob(n) = [P(n) / n!] a probabilidade solicitada. Ou seja, P(n) é o número de possibilidades favoráveis

Vamos lá. Um estudo específico rápido:

Se fosse 1 participante, a probabilidade seria 0%.

Se fossem 2, teríamos que o 1º não poderia pegar seu nome. Como o universo de possibilidades é 2 e apenas uma delas satisfaz, e probabilidade aqui seria 1/2 = 0,5

Se fossem 3, temos que pensar da seguinte forma para saber o universo de possibilidades:

Se o primeiro tirar seu nome, já não nos serve mais. Como este caso tem 2 possibilidades (a de o segundo e o terceiro também tirarem seus nomes, e a de o 2° tirar o nome do 3° e o 3° tirar o do 2°), resta verificar os outros casos;

Se o 1° tirar o nome do 2°:

Pode o 2° tirar o do 1° e o 3° o dele mesmo -> não serve;

Pode o 2° tirar o do 3° e o 3° o do 1° -> OK

Se o 1° tirar o do 3°, ocorre o mesmo, ou seja, das 2 possibilidades, onde uma é válida.

Assim, neste caso (3 participantes), o universo de possibilidades é 3*2*1 = 6, e as válidas são 2. Temos 2/6 = 1/3 a probabilidade.

Perceba que existem dois casos. Um é o primeiro pegar o seu próprio nome. E este não nos serve. O outro é ele pegar o nome de outro participante. Assim, restará o nome dele e de mais um. Supondo que o participante que o primeiro pegou o nome, pegar o nome do primeiro (ou seja, um pega o nome do outro), resta a situação de apenas um participante, ou seja, o participante que não sorteou só poderá pegar o próprio nome, que é o caso de se só existisse um participante.

Vamos analisar como seria com 4 participantes, o pensamento é análogo ao se fossem 3:

Se o 1° tirar seu nome, os outros casos não nos serve. Ou seja, temos 3! = 6 possibilidades que não servem.

Se o 1° tirar o nome do 2°:

O 2° tira o do 1° o 3° tira o próprio e o 4° o próprio -> Não serve

O 2º tira o do 1°, o 3° o do 4° o 4° o do 3º -> OK

O 2° tira o do 3°, o 3° o do 1º o 4º o próprio -> não serve

O 2° tira o do 3°, o 3° o do 4º, o 4º o do 1º -> OK

O 2° tira o do 4°, o 3º o próprio, o 4° o do 1º -> Não serve

O 2° tira o do 4º, o 3º o do 1º, o 4º o do 3° -> Ok

Total de 3 possibilidades neste caso.

Como o 1º pode ainda tirar o do 3° e do 4°, e nesses casos teremos a mesma situação acima (3 favoráveis em cada), são 9 as possibilidades satisfatórias. 9/24 = 3/8.

Mais uma vez, o que foi observado no caso de 3 participantes, ocorreu. Veja que aqui existe também a possibilidade do 1º tirar o seu próprio nome (que não serve) e de ele tirar o nome que outro participante. Como são 4 participantes, as possibilidades do 1º tirar o nome de outro são 3. Digamos que ele pegue o nome de outro participante, chamado de B. Neste caso, se o participante B tirar o nome do 1º, vão restar 2 nomes e dois participantes. Porém, como no caso de existirem apenas 2 no jogo do amigo secreto, os dois participantes que restaram tem os seus nomes a serem sorteados. Caso o B não pegue o nome do 1º, e pegue o nome de um jogador C. Segue a lógica: se o C pegar o nome do 1º, resta um jogador e um nome (caso do jogo de apenas um participante, já que o nome que sobrou é exatamente o nome do jogador que não sorteou), se ele pegar o nome de um participante D ...

Agora, vou fazer o mesmo que fiz acima, porém de forma genérica, para n participantes.

Já foi visto que o universo de possibilidades é de n!.

Neste caso, para n participantes, temos:

Se o 1° pegar seu nome. já não serve mais -> (n-1)! casos descartados

Se o 1º pegar o nome de outro participante (participante X) [ (n-1) possibilidades ]

Se X pegar o nome do 1º (1 possibilidade) restam (n-2) participantes com seus próprios (n-2) nomes. Neste caso, a probabilidade dos casos favoráveis será P(n-2), já que os nomes não sorteados são exatamente o dos participantes que restaram.

Mas se X pegar o nome de um terceiro (Y) (n-2 possibilidades) obtém-se os mesmos 2 casos:

Y pegar o nome do 1º (1 possibilidade), restando (n-3) participantes e seus (n-3) nomes. P(n-3)

Y pegar outro (Z) (n-3 possibilidades):

Z pegar o nome do 1º (1 possibilidade): P(n-4)

.......

E assim vai.

Assim, teremos que:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + (n-4)*[P(n-5) + ... + 3*[P(2) + 2*[P(1)]]]...]]]

Da igualdade acima, temos:

P(n-1) = (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + ... + 2*[P(1)]]]...]]]

Assim:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + P(n-1)]

Lembrando que a probabilidade é Prob(n) = P(n) / n!

A relação P(n) = (n-1)*[ P(n-1) + P(n-2) ] estabelece uma relação de subfatorial.

Assim, dividindo tudo por n! (universo) temos:

(Aconselho ao leitor a acompanhar com um papel e um lápis a partir daqui)

P(n)/n! = (n-1)*{ P(n-1) + P(n-2)] } / n!

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + P(n-2)/(n-1)!] }

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + [1/(n-1)]*[P(n-2) /(n-2)!] }

Desta forma temos:

Prob(n) = [(n-1)/n]*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = (1 - 1/n )*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) - (1/n)*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [(n-1)/n]*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + (1/n)*Prob(n-2) ] 

Prob(n) - Prob(n-1) = - (1/n)*Prob(n-1) + [1/n]*[ Prob(n-2) ]

Prob(n) - Prob(n-1) = (-1/n)* [ Prob(n-1) - Prob(n-2) ]

Seja G(n) = Prob(n) - Prob(n-1)

G(n) = (-1/n) G(n-1)

Como:

G(2) = Prob(2) - Prob(1) = 1/2 - 0 = 1/2

G(3) = (-1/3)*(1/2) = -1/6

G(4) = (-1/4)*(1/6) = 1/24

...

G(k) = [(-1)^k] / k!

Assim:

Prob(n) = Prob(1) + [Prob(2) - Prob(1)] + [Prob(3) - Prob(2)] + ... + [Prob(n) - Prob(n-1)]

Prob(n) = 0 + G(2) + G(3) + G(4) + ... + G(n)

Prob(n) = Ʃ{ [(-1)^k] / k! }

Mas, da série de Taylor temos que:

e^x = Ʃ[ ( x^k ) / k! ], se tivermos x = -1, a série será:

e^(-1) = Ʃ{ [ (-1)^k ] / k! } = Prob(n) para n tendendo ao infinito

Logo, Prob(n) = 1/e

Exercício Resolvido - Circunferência e distância de pontos

Sejam A(-4,0) e B(0,8) pontos externos do diâmetro da circunferência de centro no ponto C. A reta que passa por C é perpendicular ao diâmetro AB intercepta o eixo das abcissas no ponto P.Qual a distancia entre os pontos B e P?
a)5
b)6
c)7
d)9
e)10

Solução:
Como temos os pontos A e B diametralmente opostos, a distância entre eles é o valor do diâmetro dessa circunferência.
A distância 'd' entre eles é dada por:

d² = (-4 - 0)² + (0 - 8)² = 16 + 64 = 80
d = 4√5

Assim, o raio dessa circunferência é 2√5 e o raio ao quadrado será 20.
Como a equação geral de uma circunferência é:

(x - xo)² + (y - yo)² = r²

Onde xo e yo são as coordenadas do centro e x e y são as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência, temos:

Para o ponto A:

(-4 - xo)² + (0 - yo)² = 20

16 + 8xo + xo² + yo² = 20

Para o ponto B

(0 - xo)² + (8 - yo)² = 20

xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

Assim, como ambos são iguais a 20:

16 + 8xo + xo² + yo² = xo² + 64 - 16yo + yo²

8xo +16yo = 48

Dividindo tudo por 8 para simplificar

xo + 2yo = 6

xo = 6 - 2yo

Substituindo este valor nas equações acima:

xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

(6 - 2yo)² + 64 - 16yo + yo² = 20

36 - 24yo + 4yo² + 64 - 16yo + yo² = 20

5yo² - 40yo + 80 = 0

Dividindo tudo por 5 para simplificar

yo² - 8yo + 16 = 0

Aplicando Bhaskara temos:

yo = 4
Logo:

xo = -2

Assim, as coordenadas do ponto central são (-2,4)

Equação da reta que passa por A e B:

No ponto A (-4,0), x = -4 e y = 0

Como a equação de uma reta é do tipo y = ax + b

0 = -4a + b

No ponto B (0,8), x = 0, y = 8

8 = 0*a + b

b = 8

a = 2

y = 2x + 8

O coeficiente angular dessa reta é 2, logo o da reta perpendicular a essa, terá coeficiente angular de -1/2, já que o coeficiente angular de retas perpendiculares possuem sinal contrário e um é o inverso do outro. Mas queremos que essa reta passe por C (-2, 4)

Para essa reta, a equação é do tipo:

y = (-1/2)x + b

Mas passa por C (-2, 4), onde x = -2 e y = 4

4 = (-1/2)*(-2) + b

4 = 1 + b

b = 3

A equação é:

y = (-1/2)x + 3

Esta reta corta o eixo das abcissas (eixo x) quando y = 0. Logo:

0 = (-1/2)x + 3

x = 6

Ponto P = (6,0)

A distância entre os pontos P (6,0) e B (0,8) é:

d² = (6-0)² + (0-8)²

d² = 36 + 64

d² = 100

d = 10

Letra e)

Abaixo o que aconteceu nesse exercício:

Em laranja, a distância 'd' entre os pontos P e B;

Em azul a circunferência;

Em preto, a reta y = 2x + 8 que passa por A e B;

Em cinza, a reta y = (-1/2)x + 3 perpendicular à que passa por A e B passando pelo ponto C e;

Em vermelho, os pontos A, B, C e P.

Exercícios Resolvido - (UFG 06) - Achar o resto da divisão

(UFG 06) O maior número primo conhecido foi descoberto no ano passado por Martin Nowak. Ele é dado por 2^25.964.951 –  1. (GALILEU, São Paulo, n. 169, ago. 2005. p. 43). Considerando o algoritmo de Euclides para a divisão por 8 desse número, pode-se escrever a equação 2^25.964.951 –  1 = 8k + r. Então o resto r da divisão por 8 do maior primo conhecido é:       

a) 0       b) 2       c) 5       d) 6       e) 7

Solução:

Assim:



Substituindo



Como



Logo:

Assim, temos que

.

Letra e)