Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física

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Dois blocos de massas 10 kg e 20 kg estão suspensos por cabos, conforme ilustrado na figura. O cabo A é preso ao teto e faz um ângulo de 60º com a horizontal. O cabo B é perpendicular à direção vertical.
Considerando que os blocos estão em equilíbrio estático, qual o valor do módulo da tensão no cabo A?
Dados:

sen 60º = √3/2
cos 60º = 0,5
g = 10 m/s²

Solução:
Nesta questão deve-se perceber que agindo no ponto que o cabo B esta fixo na parede, e assim, existe nele uma tração.
Exercícios deste tipo tornam-se relativamente simples quando nos damos conta que o sistema está em equilíbrio, ou seja, não há nada se movendo com aceleração. Neste caso, esta tudo estático. Essa observação é importante pois com isso, temos a certeza de que a força resultante em qualquer ponto deve ser nula, pois se não fosse nula, este ponto não estaria parado.

Vou chamar o ponto de união do cabo A ao B de ponto P. Este ponto, como todos os outros, está parado, ou seja, a força resultante nele é nula. Observando a figura percebemos que existem três forças atuando nesse ponto:
1ª - A tração do cabo A
2ª - A tração do cabo B
3ª - A tração do cabo que suspende os blocos


Para facilitar nossa vida, convém decompor a tração do cabo A em duas forças uma na direção vertical e outra na horizontal:
Para que o ponto P esteja em equilíbrio devemos ter:
FB = FAHor e;
FBlocos = FAVert

Ainda, devemos saber que FAVert é a projeção vertical da tração em A e FAHor é a projeção horizontal. Assim, FA*Sen(60°) = FAVert e FA*Cos(60°) = FAHor. Este ângulo de 60° é o que o cabo A faz com a horizontal.

Mas ainda do exercício temos um dado importante:
FAVert = FBlocos (equilíbrio), mas:
FBlocos = (10 + 20)*10 = 300N
Logo, FAVert = 300N, com isso:
FA*Sen(60°) = FAVert = 300N
FA*√3/2 = 300N
FA = (600/√3)N.


Exercício Resolvido - Lugar Geométrico

  00:37   , ,   No comments   Edit
Se o ponto P(x,y) é tal que sua distância do ponto A(3,2) é sempre duas vezes a sua distância de B(4,1), encontre uma equação que deve ser satisfeita pelas coordenadas de P.

Solução:
Distância do ponto P ao ponto A é:
√[(x-3)² + (y-2)²].
Vou chamar esta distância de 'd'
d = √[(x-3)² + (y-2)²]

Distância do ponto P ao ponto B é:
2d = √[(x-4)² + (y-1)²]

Multiplicando a distância do ponto P ao ponto A por 2 e igualando à distância do ponto P ao ponto B temos:
2*√[(x-3)² + (y-2)²] = √[(x-4)² + (y-1)²]

Elevando os dois lados ao quadrado:
4*[(x-3)² + (y-2)²] = [(x-4)² + (y-1)²]
4*[x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4] = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
4x² - 24x + 52 + 4y² - 16y = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Como x² e y² tem coeficientes iguais, podemos afirmar que esta é a equação de uma circunferência. Para saber qual é o centro e o raio desta circunferência, procedemos da seguinte forma:
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Agrupamos os termos que multiplicam 'x' e 'y' e isolamos, do lado direita da igualdade, os termos independentes:
3x² - 16x + 3y² - 14y = -35

Somamos constantes de ambos os lados da igualdade de forma conveniente a ter quadrados perfeitos:
(3x² - 16x + 64/3) + (3y² - 14y + 49/3) = -35 + 64/3 + 49/3 = -35 + 113/3 = 8/3

Dividindo tudo por 3, para deixar x² e y² sem coeficientes:
[x² - (16/3)x + 64/9] + [y² - (14/3)y + 49/9] = 8/9
(x - 8/3)² + (y - 7/3)² = [(2/3)*√2]²

Centro: ( 8/3 , 7/3)
Raio : (2/3)*√2





Exercício Resolvido - Derivada de 1/[Sec(2x-1)]³/²

  21:41      3 comments   Edit
Calcule a derivada de f(x) = 1/[Sec(2x-1)]³′²

Solução:
Das RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS temos que:
$f(x) \, = \, \frac{1}{\left [ Sec \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ]^\frac{3}{2}} \, = \, \left [ Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ]^\frac{3}{2}$

Assim:
$\frac{df(x)}{dx} \, = \, \frac{3}{2} \times \left [ Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ] ^\frac{1}{2} \times \left [- Sen \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ] \times 2 \, = \, -3 \times \sqrt{Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right )} \times Sen \left ( 2x \, - \, 1 \right )$

Desta forma, a derivada de f(x) é:
$$ \frac{df(x)}{dx} \, = \,  -3 \times \sqrt{Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right )} \times Sen \left ( 2x \, - \, 1 \right ) $$


Exercício Resolvido - Somatório

  21:11      10 comments   Edit
Calcule X9 e X21 sabendo que:

Solução:
Do 1º e do 3º somatório temos que X9 + X21 = 10 e do 2º e do 4º somatório X9² + X21² = 52.
Assim:
X9² + X21² = 52, sabendo que X9 = 10 - X21,  X9² = (10 - X21)² = 100 - 20X21 + X21², então:
100 - 20X21 + X21² + X21² = 52
2X21² - 20X21 + 100 = 52
2X21² - 20X21 + 48 = 0, dividindo tudo por 2
X21² - 10X21 + 24 = 0
Resolvendo temos:
X21 = 6 ou X21 = 4

Na verdade, estas são as soluções pois se X21 = 4, X9 = 6, e se X21 = 6, X9 = 4. Existem duas soluções para este exercício.


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