Exercício Resolvido - Inteiros de Gauss

O exercício resolvido neste post será o Problema 1 do capítulo "Inteiros de Gauss" do arquivo disponível no link http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/gauss.doc escrito por Guilherme Fujiwara.
Deste arquivo irei transcrever algumas definições e teoremas, conforme eles forem sendo usados, porém não serão disponibilizadas aqui as provas dos teoremas. Estas podem ser vistas no próprio documento.

Problema 1. Determine todos os pares x, y Î Z tal que y³ = x² + 1.

Solução:

y³ = x² + 1

y³ = (x + i)*(x - i)

onde

i² = -1.

INTEIROS DE GAUSS
Definimos o conjunto Z[i] dos inteiros de Gauss como Z[i] = {a + bi | a, b Є Z}, onde (i² = –1).

Fatoração única

Todo inteiro z de Gauss com norma maior que 1 pode ser escrito como o produto de um ou mais primos de Gauss. Além disso, esta fatoração é única.

Desta forma, como desejamos soluções pertencentes a Z para x e y, então (x + i) e (x - i) são inteiros de Gauss. Portanto, pela propriedade da fatoração única, cada um deles pode ser escrito como o produto de primos de Gauss, onde um primo de Gauss é definido por ser um inteiro de Gauss que não pode ser escrito pelo produto de dois inteiros de Gauss não unitários.

Assim:

(x + i) = (α1)ᵃ¹*(α2)ᵃ²*(α3)ᵃ³*...*(αk1)ᵃᵏ¹

(x - i) = (β1)ᵇ¹*(β2)ᵇ²*(β3)ᵇ³*...*(βk2)ᵇᵏ²

onde αn e βn são primos de Gauss e an e bn são os expoentes dos termos da fatoração.

Da fatoração acima, será necessário saber se existe algum α ou β iguais, ou seja, se algum dos primos da fatoração de (x + i) é igual a algum dos primos da fatoração de (x - i). O que se pode deduzir é que, se existe algum termo das fatorações de ambos que sejam iguais, então este primo também é um termo na fatoração de qualquer combinação aritmética (soma, subtração, divisão e multiplicação) entre eles.
Fazendo:
(x + i) - (x - i) = 2i
(x + i) + (x - i) = 2x
Portanto, caso exista algum α que seja igual a algum β, este é 2 (ou 2i, ou -2, ou -2i), já que as unidades dos inteiros de Gauss são 1, -1, i e -i.

Obs.: É importante perceber que o 2 não é, necessariamente, um termo da fatoração. O que se ressalta aqui é que se o 2 for termo da fatoração de um deles, então é dos dois e neste caso este seria o único termo em comum na fatoração de (x + i) e (x - i). Logo, qualquer α é diferente de qualquer β, exceto se um deles for 2.

Porém, da divisibilidade temos que:

Divisibilidade
Dizemos que para a, b Є Z[i], a|b (lê-se a divide b) se Ǝ c Є Z[i] tal que b = ac.

Logo, se 2ᵏ é fator da decomposição de (x + i), então existe um c = (a + bi) (inteiro de Gauss) tal que:

x + i = 2ᵏ*(a + bi)

x + i = 2ᵏ*a + 2ᵏ*bi

Ou seja:

2ᵏ*b = 1. Mas como b é um inteiro, então k = 0.

Portanto, a equação inicial fica:
y³ = [(α1)ᵃ¹*(α2)ᵃ²*(α3)ᵃ³*...*(αk1)ᵃᵏ¹]*[(β1)ᵇ¹*(β2)ᵇ²*(β3)ᵇ³*...*(βk2)ᵇᵏ²]

Porém, para que y seja inteiro, cada um dos expoentes a1, a2, a3, ..., ak1 e b1, b2, b3, ..., bk2 devem ser múltiplos de 3, já que todos os primos de Gauss α e β são diferentes. Desta forma podemos escrever a equação:
y³ = [(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹'*(β1)ᵇ¹'*(β2)ᵇ²'*(β3)ᵇ³'*...*(βk2)ᵇᵏ²']³
Além disso:
(x + i) =  [(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹']³
e
(x - i) = [(β1)ᵇ¹'*(β2)ᵇ²'*(β3)ᵇ³'*...*(βk2)ᵇᵏ²']³
Usando:
(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹' = u + vi
Onde u + vi é um inteiro de Gauss.

Assim:
(x + i) = (u + vi)³ = [u³ + 3u²vi + 3u(vi)² + (vi)³] = u³ + 3u²vi - 3uv² - v³i = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³)
Então:
(x + i) = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³)
e
(x - i) = (u³ - 3uv²) - i*(3u²v - v³)
Logo:
3u²v - v³ = 1
3u² - v² = 1/v

Porém, como u é um inteiro e v também é um inteiro, v só pode ser ±1, caso contrário |1/v| < 1, o que não é uma solução possível para 3u² - v² sendo u e v inteiros.

Assim:
Para v = 1:
3u² - 1 = 1
u² = 3/2
O que não é possível, pois u é inteiro.

Para v = -1
3u² - 1 = -1
u = 0
Ok.

Logo:
(x + i) = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³) = 0 + i
Ou seja
x = 0

Neste caso
y³ = 0² + 1
y = 1

Portanto, este exercício só admite uma solução:
x = 0
y = 1

Exercício Resolvido - Desafio

Ana tem o dobro da idade que Márcia tinha quando Ana tinha a idade que Márcia tem. Sabendo que a soma das idades delas é 42, qual é a idade de Ana e de Márcia?

Solução:

Este exercício parece ser fácil, mas a sua dificuldade esta em conseguir entendê-lo.

Um método que pode facilitar é equacioná-lo de "trás pra frente".

Seja 'A' a idade de Ana e M a idade de Márcia. Então, temos do exercício, indo de "trás pra frente" que:

A + M = 42

"... quando Ana tinha a idade que Márcia tem". Ou seja, Ana é mais velha que Márcia. Chamarei a diferença de idade delas de 'X'.

A - M = X

Ana tinha a idade de Márcia há 'X' anos atrás, e esta idade era de 'A - X'.

"...idade que Márcia tinha". Nesta época, Márcia tinha 'M - X' anos de idade. Chamarei esta idade de Márcia de 'Ma'. Então 'Ma = M - X'

Porém o exercício fala que Ana, hoje, tem o dobro da idade que Márcia tinha, ou seja:

A = 2*Ma

Agora, basta substituir:

Ma = M - X

Assim:

A = 2*(M - X) = 2M - 2X

Mas 'X = A - M'

Então:

A = 2M - 2*(A - M) = 2M - 2A + 2M

3A = 4M

Como 'A + M = 42', temos que:

A = 42 - M

Substituindo

3*(42 - M) = 4M

126 - 3M = 4M

7M = 126

M = 18

A = 42 - 18

A = 24

Ana tem 24 anos e Márcia tem 18 anos.

PS: Agora, com o exercício resolvido, é fácil de entendê-lo. Veja.

Quando Ana tinha a idade de Márcia (ou seja, quando Ana tinha 18 anos), Márcia, claro, tinha 12 anos. A idade de Ana hoje é 24 anos, o dobro de 12.

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

Das dez torneiras da rede de abastecimento de um determinado bairro, três estão com defeito. Se a equipe de manutenção escolher, aleatoriamente, duas torneiras para trocar, a probabilidade de se encontrar pelo menos uma com defeito é de, aproximadamente:

a) 38% 

b) 40% 

c) 45% 

d) 48% 

e) 53%

Solução:

Para resolver esta questão eu irei usar o conceito de que a probabilidade de algo ocorrer é o número de possibilidades dividido pelo universo.

Neste caso temos 10 torneiras e existem X formas diferentes de agrupá-las duas a duas. Este é o nosso universo.

X = 10!/(2!*8!) = 45

Dessas 45 formas distintas de se agrupar 10 torneiras duas a duas, existe uma quantidade de pares formada apenas pelas torneiras boas. Estas são 7, então o número de pares formados apenas por elas é Y.

Y = 7!/(2!*5!) = 21

Logo, dos 45 pares formados pelas torneiras, certamente 21 deles não são formados por torneiras ruins. Com isso, 45 - 21 = 24 são formados por pelo menos uma ruim.

Assim, a probabilidade será:

P = 24/45 = 53,3%, letra e)

Exercício Resolvido - Trigonometria: Relações trigonométricas

Considerando-se a expressão trigonométrica x = 1 + Cos(30°), um dos possíveis produtos que a representam é igual a:

a) 2 cos² 15º 

b) 4 cos² 15º 

c) 2 sen² 30º 

d) 2 cos² 30º 

e) 4 sen² 15º

Solução:

Das relações trigonométricas temos que:

cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)

Como 30° = 15° + 15°, podemos escrever:

Cos(30°) = Cos(15° + 15°) = Cos(15°)*Cos(15°) - Sen(15°)*Sen(15°) = Cos²(15°) - Sen²(15°)

Ainda, das relações trigonométricas, temos que:

Cos²(a) + Sen²(a) = 1, logo

Sen²(a) = 1 - Cos²(a)

Ou seja:

Sen²(15°) = 1 - Cos²(15°)

Substituindo:

Cos(30°) = Cos²(15°) - [1 - Cos²(15°)]

Cos(30°) = Cos²(15°) - 1 + Cos²(15°)

Cos(30°) = 2*Cos²(15°) - 1

Somando 1 de ambos os lados:

1 + Cos(30°) = 1 + 2*Cos²(15°) - 1

1 + Cos(30°) = 2*Cos²(15°) 

alternativa a)

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Seja E(u,v,x) uma base e F(a,b,c) tal que u = 2a + 2b, v = 2a - b, w = a + b - 5c. Prove que F é base.

Solução:

Primeiro, precisamos saber o que é uma base?

Sem muitos critérios matemáticos, um conjunto de vetores B é chamado de base de um espaço vetorial E se, a partir da combinação linear dos vetores que formam B pudermos formar qualquer vetor do espaço E e se os vetores que formam B forem linearmente independentes.

Além disso, temos que qualquer base de um espaço vetorial tem o número de vetores iguais à dimensão deste espaço.

Por exemplo:

Uma base para o conjunto dos reais (R¹) pode ser o número 1, pois a partir dele podemos formar qualquer número real multiplicando 1 por um coeficiente a1 real. -> 5,4 = 5,4*1

Uma base para o conjunto R² pode ser B = {(1,0) , (0,1)}, pois a partir destes vetores podemos formar qualquer vetor do espaço R² multiplicando pelos coeficientes reais a1 e a2. -> (2,7) = 2*(1,0) + 7*(0,1)

Nestes dois casos temos que R¹ tem dimensão 1, e R² tem dimensão 2.

Neste caso, o primeiro critério é claramente satisfeito por F, já que F tem 3 vetores, são eles:

'a', 'b' e 'c'.

O que resta saber é se 'a', 'b' e 'c' são linearmente independentes.

Aqui, precisamos saber o que é ser Linearmente Independente.

Um conjunto de vetores (v1,v2,v3,...,vn) é linearmente independente se para quaisquer coeficientes reais (a1,a2,a3,...,an), não todos nulo, temos:

a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 + ... + an*vn ≠ 0

Agora podemos voltar ao exercício.

Do exercício temos que E(u,v,w) é uma base.

Sabendo que:

u = 2a + 2b

v = 2a - b

w = a + b - 5c

Assim, manipulando temos:

a = u/2 -b

a = (v+b)/2

a = w - b + 5c

Veja também:

O que é um espaço vetorial?
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

u - 2b = v + b

b = (u - v)/3

a = u/2 - u/3 + v/3

a = (u + 2v)/6

c = (a + b - w)/5

c = [(u + 2v)/6 + (u - v)/3 - w]/5

c = (u/2 - w)/5

Se F não é um espaço vetorial:

a1*a + a2*b + a3*c = 0, para algum valor de a1, a2, a3 reais desde que não sejam todos nulos. Porém, se a única solução é a de serem todos nulos, então F é um espaço vetorial.

a1*(u + 2v)/6 + a2*(u - v)/3 + a3*(u/2 - w)/5 = 0

u*(a1/6 + a2/3 + a3/10) + v*(a1/3 - a2/3) - w*(a3/5) = 0

Para isso ser verdade, como (u,v,w) são Linearmente Independentes, esta igualdade só é válida se:

a1/6 + a2/3 + a3/10 = 0

a1/3 - a2/3 = 0, desta equação temos que a1 = a2.

a3/5 = 0, desta temos que a3 = 0

Substituindo os resultados na primeira equação temos:

a1/6 + a1/3 = 0

O que só é válido se a1 = 0.

Logo, a equação a1*a + a2*b + a3*c = 0 só é verdade se a1 = a2 = a3 = 0. Logo, F é Linearmente Independente e portanto uma base.