Exercício Resolvido - Potenciação

Um inteiro é chamado formidável se ele pode ser escrito como uma soma de potências distintas de 4 e é dito bem sucedido se ele pode ser escrito como uma soma de duas potências distintas de 6. O número de maneiras de escrevemos 2005 como a soma de um número formidável com um número bem sucedido é: 

a) 0 
b) 1
c) 2
d) 3

e) mais de 3

Solução:

Uma potência de 4 é qualquer número tal que pode ser escrito na forma: 4


Assim, vamos verificar as potências de 4 menores que 2005, isso irá facilitar a resolução do exercício:

4° = 1
4¹ = 4
4² = 16
4³ = 64
4⁴ = 256
4⁵ = 1024

A próxima potência de 4 (4⁶) é maior que 2005, portanto não serve.

Agora escreveremos as potências de 6:
6° = 1
6¹ = 6
6² = 36
6³ = 216
6⁴ = 1296

A próxima potência de 6 (6) é maior que 2005, portanto também não serve.

Agora resta verificar a combinação desses números que resulta em 2005. Porém como 2005 é ímpar, certamente teremos ou 4° = 1 ou 6° = 1 na soma.

É importante perceber que neste exercício temos a liberdade de pegar quantas potências de 4 queremos (desde que sejam distintas), porém as potências de 6 devem ser apenas duas.

Desta forma, pegaremos os maiores valores que são potências de 6 e todos os outros que são potência de 4, desde que a soma não seja superior a 2005.
1296 + 216 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 1853.

Desta forma, não existe qualquer combinação destes valores que possam resultar em 2005 pois sob estas condições o maior valor que podemos ter que não passa 2005 é 1853.

Portanto, a resposta correta é a)


6 comentários:

  1. Valeu, amigo.
    Me ajudou muito :D

    ResponderExcluir
  2. Sensacional, eu vi esta questão no yahoo respostas e não consegui resolver. Obrigado.

    Abraços, Ittalo25.

    ResponderExcluir
  3. Gostei bastante muito bem explicado! abraço

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Que bom Mikaella. Fico feliz que o exercício lhe tenha sido útil.

      Excluir