Dedução da fórmula da soma da PG por indução.

Fórmula da soma da PG (Progressão Geométrica) - DEDUÇÃO

Uma PG é definida por um termo inicial (a1) e uma razão (q). Cada termo desta sequência é o anterior multiplicado da razão, assim a sequência fica:
Progressão Geométrica
A soma dos termos de uma Progressão Geométrica nada mais é do que:
Progressão Geométrica
1 - Utilizando o método da indução finita para calcular a Soma da PG:
Provaremos que a Soma da PG é dada por:
Progressão Geomátrica
1º) Veremos se a fórmula é válida para n = 1:
O que é verdadeiro, já que o resultado da Soma de uma Progressão Geométrica com apenas um termo é ele mesmo.

2º) Supomos que a fórmula da Soma da PG é válida para um valor "n" aleatório:
Soma de uma progressão geométrica
3º) Partindo da hipótese assumida acima, devemos chegar que a fórmula da Soma da PG é válida para "n+1":

A soma "S(n+1)" será a soma de todos os termos da PG até n (Sn) mais o termo a1*q^(n), tendo assim:
Progressão geométrica
Porém, pela suposição assumida em 2º, temos:
Que pode ser escrito como:
Progressão Geométrica

Logo, a fórmula da Soma da PG é verdadeira.

Outra forma de deduzir a fórmula da Soma da PG

Agora, para aplicar o método, multiplicamos a Soma da PG por 'q', tendo:
Progressão Geométrica
Agora fazemos a seguinte subtração:
Progressão Geométrica
Perceba que vários dos termos serão anulados por serem iguais, restando apenas:
Progressão Geométrica
isolando os termos:

Progressão Geométrica

  Progressão Geométrica


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