Espaço Vetorial: Dimensão e Mudança de base

Definição de dimensão e mudança de base

Nesta publicação será falado sobre:

• Dimensão e;
• Mudança de base.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado é o número de vetores que compõem as bases de um espaço vetorial. Em complemento a isto, existe o Teorema de Invariância que citaremos a seguir:

TEOREMA DA INVARIÂNCIA: Dado um espaço vetorial finitamente gerado E. Então qualquer base deste espaço tem o mesmo número de vetores.

Com o Teorema da Invariância, estabelecemos que dado um espaço vetorial (ou um sub-espaço vetorial) toda e qualquer base deste espaço possui o mesmo número de vetores. Este número chamamos de Dimensão do espaço vetorial.

Alguns exemplos:

• O espaço tridimensional (R³) tem dimensão 3;
• O espaço dos polinômios de grau n tem dimensão n+1;
• O espaço das matrizes de dimensão li x col tem dimensão li*col.

Mudança de base

Seja E um espaço vetorial de dimensão n que tenha A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bn} como bases diferentes. Então, existe uma única família de escalares αij que possibilite a seguinte combinação linear:

---

PROVA DE QUE A FAMÍLIA DE ESCALARES É ÚNICA:

Supondo que não seja única, então existe uma família αij e uma família βij. Assim:

Porém, como B é uma base, então os vetores b1, b2, ... são Linearmente Independentes (Veja), logo:

---

A matriz formada pelos escalares αij é chamada de matriz de mudança de base, que transforma um vetor escrito na base B para a base A.

Veja também:
Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Propriedades de um Espaço Vetorial

O que é um espaço vetorial?


Exemplo:
Seja o espaço vetorial R³, que é finitamente gerado por [(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)] (Veja o que é um espaço finitamente gerado).

Sejam as bases A e B formadas pelos vetores





Assim temos:



De:



Temos:

De onde tiramos que:

De forma análoga temos:

Formando a matriz de transformação do sistema B no sistema A:

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 1

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 1

Solução:

Neste exercício existe uma associação mista de resistores pois há associação em paralelo e em série.

Os resistores de 1,2 Ω e 6 Ω estão em paralelo, enquanto que os de 5 Ω e 7 Ω e os de 4 Ω e 8 Ω estão em série.

A solução deste tipo de exercício deve ser feita passo a passo, calculando as resistências equivalentes de cada associação, uma por vez e no fim, o resultado será obtido naturalmente.

Cálculo da associação paralela entre os resistores de 1,2 Ω e 6 Ω

O cálculo da resistência equivalente de uma associação em paralelo é obtida usando a seguinte fórmula:

Onde Req é a resistência equivalente da associação de resistores, R1 neste caso vale 1,2 Ω e R2 vale 6 Ω. Substituindo os valores temos:

Assim, como 1/Req = 1 Ω, então Req = 1 Ω. Logo, a associação de resistores da figura é equivalente a:

Cálculo da associação em série entre os resistores de 5 Ω e 7 Ω e os de 4 Ω e 8 Ω

O cálculo da associação de resistores em série é mais simples pois basta somar as resistências. No caso, a resistência equivalente da associação em série entre 5 Ω e 7 Ω será 12 Ω e entre 4 Ω e 8 Ω será 12 Ω também. Assim, o circuito fica:

Cálculo da associação paralela entre os dois resistores de 12 Ω

Veja que as resistência de 12 Ω ficaram em paralelo. Usando a fórmula para o cálculo da Req para associação em paralelo temos:

Assim, como 1/Req = 1/6, então Req = 6 Ω.

Cálculo da resistência equivalente de todo o circuito

 Após o último cálculo, temos que o circuito fica:

As duas resistências restantes estão em série, logo a Resistência Equivalente do circuito será de 7 Ω.

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Exercício Resolvido - Maximização de volume: Multiplicadores de Lagrange

Cálculo do máximo e do mínimo volume de uma caixa utilizando multiplicadores de Lagrange

Calcule o maior e o menor volume de uma caixa retangular cuja área deve ser de 1500 cm² e a soma das arestas 200 cm.

Solução:

Como se trata de um exercício de obtenção do máximo e do mínimo de uma função segundo algumas condições, o uso da teoria de multiplicadores de Lagrange se torna adequado.

Neste caso, teremos uma equação a ser maximizada e minimizada que é o volume. Chamando de a, b e c as arestas da caixa temos:

As condições que devemos obedecer são:

Condição de aresta:

Condição de área:

Com isso podemos construir a função de Lagrange:

Assim, as soluções que maximizam e minimizam o volume segundo as condições de área e de aresta são dadas pela solução do seguinte sistema:



Disso, temos que:

Da primeira equação:

Da segunda equação:

Aqui já podemos concluir que a = b

Veja também:

Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Utilizando este resultado nas duas últimas equações temos:

c = 50 - 2a

a² + 2ac = 750

Substituindo:

a² + 2a*(50 - 2a) = 750

3a² - 100a + 750 = 0

Neste último caso, temos uma equação do segundo grau em a, que tem como raízes:

Assim, como b = a e c = 50 - 2a temos os valores das arestas:

Portanto:

Perceba que a terceira equação não foi utilizada, nem mesmo a relação de a e b com os multiplicadores de Lagrange λ₁ e λ₂ de onde concluímos que a = b. O uso destas equações iria nos fornecer os valores dos multiplicadores, o que não nos interessa a não ser que seja necessário. Como não foi, não calculá-los, simplifica bastante o problema.

Abaixo, veja o gráfico tridimensional de: Volume x a x b onde c foi substituído por c = 50 - a - b.

Em azul, a linha que estabelece a condição de área (ab + ac + bc = 750) e em verde, os pontos onde a área é máxima e mínima segundo as condições impostas:

Veja apenas a curva em azul e os pontos:

Exercício Resolvido - Movimento circular uniforme: Vestibular UERJ 2011

Exercício de movimento circular uniforme do vestibular UERJ 2011

Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à
metade do diâmetro de sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso.

Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão N1/N2 é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Solução:

Como as duas rodas percorrem trajetos circulares, conforme mostrado na figura em tracejado, então elas desenvolvem um movimento circular uniforme.

É muito importante lembrar que no movimento circular uniforme a velocidade é SEMPRE tangente à curva. Veja na figura abaixo:

A partir deste ponto o problema passa a ser de geometria plana.

Veja no desenho, em azul os vetores velocidade de cada uma das rodas (perceba que eles são tangentes às circunferências) e em vermelho a linha que liga o ponto que as rodas tocam o chão (origem do vetor velocidade) ao centro das circunferências.

Esta linhas SEMPRE formam 90º entre si, ou seja, TODA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA FORMA 90º COM A RETA QUE LIGA O PONTO DE TANGÊNCIA AO CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA:

Assim temos:

Seja r o raio da circunferência percorrida pela roda traseira, e R pela roda dianteira. Além disso, alguns ângulos das figura podem ser determinados:

Portanto, a relação r/R = Cos(60º) = 1/2 → 2r = R

Assim, quando a roda dianteira percorre a circunferência grande uma vez a distância percorrida por ela é:

D = 2 π R = 2 π (2 r) = 4 π r

Enquanto isso, a roda traseira percorre a circunferência pequena, o que dá uma distância:

d = 2 π r

O número de voltas dado pelas rodas vai depender do raio de cada uma. Sendo RD o raio da roda dianteira e RT da traseira, sabe-se do exercício que RD = 2 RT. O número de voltas dado pela roda dianteira será de:

N1 = (2 π RD) / D = (2 π RD) / (4 π r) = (4 π RT) / (4 π r) = RT / r

Para a roda traseira:

N2 = (2 π RT) / d = (2 π RT) / (2 π r) = RT / r

Logo, N1/N2 = 1, Letra (A)

Esboce o gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Esboço do gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Uma das ferramentas que o cálculo e nos proporciona é a possibilidade de esboçar o gráfico de uma função com o uso da derivada. Algumas etapas podem ser seguidas para a análise de uma função e obtenção de sua curva, são elas:

1º - Estabelecer o domínio da função. O domínio da função é importante pois limita a análise apenas onde importa. Além disso, pontos fora do domínio da função podem ser pontos inconsistentes, como no caso da função 1/x para x = 0.

2º - Cálculo das intersecções do gráfico com os eixos x e y. Nem sempre é possível calcular as intersecções com o eixo x, mas poder estimá-los já ajuda bastante.

3º - Verificar se é um função periódica. Se sim, analisa-se apenas o intervalo onde a função não se repete, após isso é possível conhecer o resultado para os demais pontos do domínio;

4º - Verificar se a função é par ou ímpar. Se for par, então ela é simétrica em relação ao eixo y. Se for ímpar, será simétrica mas rebatida em relação ao eixo x.

5º - Verificar como a função se comporta em pontos de descontinuidade e fronteiras do domínio.

6º - Se o domínio não for limitado, verificar o comportamento da função no infinito (positivo e negativo).

7º - Estuda da primeira derivada da função para achar onde a função é crescente ou decrescente e os pontos críticos (derivada = 0).

8º - Estudo da segunda derivada para verificar a concavidade da função, além de saber se os pontos críticos são pontos de máximo, mínimo ou inflexão.

9º - Por fim, verificar assíntotas. (Veja este exercício para determinar assintotas de uma função)

Para exemplificar, será feito o esboço do gráfico da função:

f(x) = 2x³ - 3x² - 3x +2, para x є (-2, 3).

1º - A função f(x) não apresenta restrição em seu domínio, porém o exercício pede a análise do gráfico apenas no intervalo (-2,3).

2º - Intersecção com o eixo y (ou seja, para x = 0):
f(0) = 2
Saber os pontos onde a função f(x) corta o eixo x é bastante complicado por se tratar de uma função do 3º grau, mas é possível fazer uma estimativa percorrendo o domínio:
f(-2) = -20
f(-1) = 0
f(0) = 2
f(1) = -2
f(2) = 0
f(3) = 20

Nisso, já descobrimos duas raízes da função f(x). Além disso, para x entre 0 e 1 há outra, pois há troca de sinal da função. Como é um polinômio do terceiro grau que só admite três raízes, então elas já foram estimadas.

3º - A função não é periódica.

4º -
f(-x) = -2x³ - 3x² + 3x + 2 ≠ f(x), logo a função não é par
-f(-x) = 2x³ + 3x² - 3x - 2 ≠ f(x), logo a função não é ímpar também
Como não é nenhuma das duas, não podemos concluir nada a respeito do gráfico neste item.

5º - Ela não apresenta descontinuidade em nenhum ponto e os pontos na fronteira do domínio estabelecido, f(-2) e f(3), já foram calculados.

6º - O domínio é limitado.

7º - Derivando f(x)
f ' (x) = 6x² - 6x - 3
Aplicando Bhaskara temos:

Δ = 36 - 4*6*(-3) = 36 + 72 = 108

√Δ = 6√3

Logo, x1 e x2 são pontos críticos. Calculando f(x) para x = x1 e x = x2 temos:

f(x1) = -2,6

f(x2) = 2,6

8º -

f '' (x) = 12x - 6.

A segunda derivada é um reta crescente que é nula para x = 1/2. Portanto, por ser crescente, para x < 1/2, ela é negativa (concavidade de f(x) é para baixo) e para x > 1/2, ela é positiva (concavidade para cima). É interessante calcular f(x) para x = 1/2 para saber o ponto onde há a troca de concavidade:

f(1/2) = 0

Perceba que, de brinde, encontramos a terceira raiz de f(x).

9º - Por ser uma função polinomial, não há assintotas.

Verifica-se agora as informações que foram obtidas:

- O gráfico passa pelos pontos: (-2, -20) , (-1, 0) , (0, 2), (1, -2), (2, 0), (3, 20)

- Possui uma raiz para x entre 0 e 1.

-Tem pontos críticos: (1,37 , -2,6) , (-0,37 , 2,6)

- Tem concavidade para cima para x > 1/2 e para baixo para x < 1/2. Assim, (-0,37 , 2,6) é um ponto de máximo local, e (1,37 , -2,6) é um ponto de mínimo local.

Colocando os pontos encontrados no gráfico:

Em preto o pontos críticos e em vermelho os pontos calculados na 2ª etapa. Em cinza o ponto onde há mudança na concavidade de f(x).

Com isso já é possível fazer o esboço do gráfico ligando os pontos e lembrando dos intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.

Veja abaixo como fica o gráfico: