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Exercício resolvido - Trigonometria





Um observador colocado a 25 metros de um edifício vê-o sobre um determinado ângulo. Afastando-se em linha reta mais 50 metros, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício?

Solução:



Como pode ser observado na figura, temos que a tangente do ângulo α é dado por:

$Tan \left ( \alpha \right ) \, = \, \frac{h}{25}$

Para o ângulo $\beta$, dado o mesmo raciocínio, temos:

$Tan \left ( \beta \right ) \, = \, \frac{h}{75}$

Mas, do exercício, $\beta$ é metade de $\alpha$:

$\beta \, = \, \frac{\alpha}{2}$

ou seja:

$Tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \, = \, \frac{h}{75}$

$Tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \, = \, \frac{1 \, - \, Cos(\alpha)}{Sen(\alpha)}$

$Tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \, = \, \frac{1}{Sen(\alpha)} \, - \, \frac{Cos(\alpha)}{Sen(\alpha)} \, = \, Cossec(\alpha) \, - \, Cot(\alpha)$

Mas:

$Cot(\alpha) \, = \, \frac{25}{h}$

Além disso, o valor da hipotenusa do triângulo com ângulo $\alpha$ é:

$\sqrt{h^2 \, + \, 25^2}$

Assim temos:

$Cossec(\alpha) \, = \, \frac{\sqrt{h^2 \, + \, 25^2}}{h}$

Podemos substituir os valores:

$Tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \, = \, Cossec(\alpha) \, - \, Cot(\alpha) \, = \, \frac{\sqrt{h^2 \, + \, 25^2}}{h} \, - \, \frac{25}{h}$

Porém, vimos que $Tan(\frac{\alpha}{2}) \, = \, \frac{h}{75}$

Então:

$\frac{h}{75} \, = \, \frac{\sqrt{h^2 \, + \, 25^2}}{h} \, - \, \frac{25}{h}$

$\frac{h^2}{75} = \sqrt{h^2 \, + \, 25^2} \, - \, 25$

$h^2 + 25*75 \, = \, 75*\sqrt{h^2 \, + \, 25^2}$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$h^4 \, + \, 3750*h^2 \, + \, \left ( 25*75 \right ) ^2 \, = \, 75^2 * \left ( h^2 \, + \, 25^2 \right )$

Para resolver a equação acima, basta substituir $h^2 \, = \, y$, ficando com uma equação do 2º grau em $y$:

$y^2 \, + \, 3750y \, + \, \left ( 25*75 \right ) ^2 \, - \, 75^2 * \left ( y \, + \, 25^2 \right ) \, = \, 0$

$y^2 \, + \, 3750y \, - \, 5625y \, + \, \left ( 25*75 \right ) ^2 \, - \, 75^2 * 25^2 \, = \, 0$

$y^2 \, - \, 1875y \, = \, 0$

As soluções são:
$y \, = \, 0$
$y \, = \, 1875$

Como $h^2 \, = \, y$, as solução não negativas em $h$ são:

$h = 0 \, m$
$h = 43,3 \, m$

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